AMC -- 美国数学竞赛 7

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AMC12的最后5题相对于前20题,难度明显调高,我把近几年相对较难的题目进行了分析解答,这里分享给大家,希望对准备应考的同学能够起到帮助。

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题目提供的信息包括:S为坐标平面格点的集合,格点的坐标值为整数,且其范围为1到30之间。S集合中的整300个点位于直线y = mx 的下方或在直线上。m的可能值位于一个区间内,该区间的范围为a/b,a与b 为互质数。问a+b是多少?

Analysis:


首先,解释下概念互质数两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数;举例:2和3,公因数只有1,为互质数。

因为坐标值位于1到30之间,整个平面上的格点有900个。


根据题意,有正好300个格点位于y = mx的下面或线上。900个格点占据了(30*30)的面积,线上或线下的300个点组成的三角形接近900个点的三分之一,根据三角形面积公式,y = mx大概率经过坐标点(30,20)。


按照之前的假设y = mx 经过格点(30,20),我们来计算一下有多少格点是位于直线上,或在其下端。明显,在此直线上,对应于横坐标1,2,3 ...的纵坐标值为2/3,4/3,2 ...(见👆图的绿色值)。根据每一个绿色值,我们可以得出每一个横坐标具体有多少点满足要求(位于直线上,或在其下端),分别为0,1,2,2,3,4 ...。发现规律后,进行计算(见👆图中的粉色计算细节),最后正好得到数值300。那么y = 2/3x 满足要求。

我们也知道如果y = 2/3x 稍稍偏下(顺时针),则格点(20,30)将位于线的上方,因此m = 2/3 是区间的最小值。下面只要求出最大值,就可以得到答案。

那么直线自y = 2/3x逆时针(向上)转动到哪里,才能保证不再增加一个格点在其下或经过该格点呢?


👆图中的紫色线,稍稍高于蓝线,且满足我们之前讨论的情况。m大于2/3,有哪些值是大于2/3呢,并且会经过原来位于y = 2/3x直线之上方的格点?可能有这些值1,2/2,3/3,3/4,4/5,... ,19/27, 19/28, 20/29, 21/30, ...。这些数值中最接近2/3的是19/28,其他的数值都距2/3更远。因此我们已经得到了m的上限,即19/28。

2/3与19/28之间的差值为 19/28 - 2/3 = 1/84,因此a = 1, b = 84,所以 a + b = 85,选(E)

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